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아. 이건 참 워네 개그로도 어쩔수 없는 인간적으로 너무 더운 날씨다.
집에서 앉아서 책만 보는데도 강아지 기름이 졸졸 나오는게 정말이지 너무 더워 -_-;

요새는 책보고 회사일 하고 그러느라 엄청 바쁘삼.

특히 8월 말에 있는 World Congress 2006 땜시 정신이 하나도 없다.
8월 말에 할일 없고 의학물리나 BME 분야에 관심있는 사람들은
World Congress 2006에나 놀러와라. (요기 참고)

오면 옵빠가 맛있는거 사줄께 -_-ㅋ

앗. 쓰고나서 정정.
개인 참가자들이 현장에서 World Congress 입장권을 사기 위해서는
무려 거금 $400을 지불해야 한다 -_-; 거참..;;
오더라도 들어오지는 마라. orz

드디어 독자로부터 첫번째 질문 레터가 날아왔다 -_-;

안녕하세요..
‘KBO Final Test 한국생물올림피아드 기출문제 및 풀이집’을 풀고 있는 중2 독자입니다.
이 문제집을 풀고 있는 도중 잘 모르겠는 것이 있어서 이렇게 질문합니다.

‘KBO Final Test 한국생물올림피아드 기출문제 및 풀이집’ 74쪽과 75쪽에 13번과 14번에서요.
저해제와 반응속도 기질의 농도 그래프가 나오는데 여기서 각각 Vmax와 Km의 관계가 나옵니다.
이때 Vmax가 최대반응속도 인것은 알았는데 Km이 무엇인지 모르겠습니다.

답변해주시면 감사하겠습니다….

헐. 중학교 2학년이라.. -_-; 요새 아해들은 참 대단하다고 생각함.
아는대로 Michaelis-Menten식에 대해서 설명해 줬삼.

겁나 대충 설명한 것이므로 딴지는 즐~

$\section*{Enzyme Kinetics}$

반응물의 농도를 변화시킬 때 반응 속도의 변화를 조사하는 것은 동역학적인 분석의 기본이다. 단지 하나의 기질을 포함하고 있는 효소-촉매 반응의 경우 기질의 농도가 증가할수록 반응속도는 포화점에 이른다.

기질 의 농도가 낮을 때에는 효소의 반응 속도 는 근사적인 1차 반응과 같다. 즉 를 임의의 상수라고 하고 는 의 농도라고 할 때 $v = k\mathrm{[S]}$ . 높은 농도의 에서 는 실제로 로 부터 독립적이 되며 최대 값에 도달하게 된다. 이 때 를 $V_\mathrm{max}$ 라고 쓴다. 반응속도가 $V_\mathrm{max}$ 에 다다르면 더 이상 반응속도는 에 의존하지 않게 된다.

이와 같은 효소 작용의 일반적인 동태에 대한 이론을 제시한 것이 미카엘리스(Michaelis, L.)와 멘텐(Menten, M.)이다. 그들의 이론은 아래와 같이 효소 와 기질 가 가역적으로 효소-기질 복합체 를 형성하며 그 중 일부가 생성물 로 전환된다는 가정에 근거하고 있다.

$\mathrm{E + S} \ \autorightleftharpoons{$k_1$}{$k_{-1}$} \ \mathrm{ES} \ \autorightarrow{$k_2$}{} \ \mathrm{E + P}\label{eqn:mm}$

즉, 는 로부터 빠르게 생성(의 반응상수)된 이후로 다시 되돌아오기 위하여 분리되거나( $k_{-1}$ 의 반응상수) 를 생성하는 반응(의 반응상수)에 참여한다는 것이다 (이 때 가 복합체로 돌아오는 역반응 $k_{-2}$ 는 무시).

이와 같이 는 생성되는 양만큼 사라진다고 생각할 수 있으므로, 의 농도는 반응 초기를 제외하고는 항상 일정하다고 가정한다 (steady state). 이는 다음과 같이 표현 될 수 있다:

$\frac{d\mathrm{[ES]}}{dt} = 0$

또한 반응 내내 효소의 총량 $[E$_\mathrm{T}$]$ 은 일정하고 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$\rm [E_T] = [E] + [ES]$

여기에서 는 자유로운 효소의 농도이고 는 효소-기질 복합체에 참여한 효소농도이다. 우리가 가정한 효소의 화학 반응식으로 부터 의 형성 속도 $v_\mathrm{f}$ 와 분해속도 $v_\mathrm{d}$ 를 다음과 같이 추산할 수 있다:

$\begin{eqnarray*}v_\mathrm{f}&=&k_1(\rm [E_T] - [ES])[S] \label{eqn:vf}\\ v_\mathrm{d}&=&k_{-1} \mathrm{ES}] + k_2[\mathrm{ES}] \ = \ (k_{-1} + k_2)[\mathrm{ES}] \label{eqn:vd}\end{eqnarray*}$

한편 steady state 가정으로부터 $v_\mathrm{f} = v_\mathrm{d}$ 이며, 따라서

$\frac{\rm ([E_T] - [ES])[S]}{\rm [ES]} = \frac{k_{-1} + k_2}{k_1}\label{eqn:vfvd}$

이 때 $(k_{-1} + k_2)/k_1$ 자체는 상수이며 이를 미카엘리스 상수 $K_\mathrm{m}$ 으로 정의한다.

$K_\mathrm{m} = \frac{k_{-1} + k_2}{k_1}$

식에서부터 알 수 있듯이 $K_\mathrm{m}$ 은 효소의 기질에 대한 친화력을 나타내며 낮은 $K_\mathrm{m}$ 값은 효소가 기질에 대하여 높은 결합력을 가지고 있음을 의미한다.

$K_\mathrm{m}$ 을 이용하여 식을 다시 쓰면,

$\begin{eqnarray*} \frac{\rm ([E_T] - [ES])[S]}{\rm [ES]} & = & K_\mathrm{m} \\ \mathrm{[ES]} & = & \frac{\rm [E_T][S]}{K_\mathrm{m} + [\mathrm{S}]} \label{eqn:ves} \end{eqnarray*}$

생성물 의 형성 속도는 $v = d[\mathrm{P}] / dt$ 와 같으므로 $v = k_2[\mathrm{ES}]$ 과 같으며 따라서,

$v = \frac{k_2 \rm [E_T][S]}{K_\mathrm{m} + \rm [S]}$

이 때 $k_2[\mathrm{E_T}]$ 는 특별한 의미가 있다. 가 매우 커서 모든 효소를 포화시킨다면 초기반응속도 는 최대( $V_\mathrm{max}$ )가 된다. 포화상태에서 의 양은 총 효소 농도인 $E$_\mathrm{T}$$ 와 같게 된다. 따라서 이 경우 반응속도 는 $k_2 \mathrm{[E_T]} = V_\mathrm{max}$ 가 된다. 는 측정하기 매우 어려운 양인 반면 $V_\mathrm{max}$ 는 비교적 측정하기 쉬운 양이므로 이와 같은 변환은 실험적으로 매우 가치가 있다.

이제 $V_\mathrm{max}$ 를 이용하여 전체 식을 의 생성 속도 에 대해 다시 쓰면 다음과 같은 미카엘리스-멘텐 식이 된다.

$v = \frac{V_\mathrm{max}\rm [S]}{K_\mathrm{m} + \rm [S]}$

이 식은 어느 순간의 효소 반응의 속도 는 두 상수인 $K_\mathrm{m}$ 과 $V_\mathrm{max}$ 에 의해 나타낼 수 있음을 제시해 준다. 이 식을 다음과 같이 $K_\mathrm{m}$ 에 대하여 정리해 볼 수도 있다.

$K_\mathrm{m} = \mathrm{[S]}\left(\frac{V_\mathrm{max}}{v} - 1\right)$

위의 식으로부터 $v = V_\mathrm{max} / 2$ 일 때, $K_\mathrm{m} = \rm[S]$ 이므로 $K_\mathrm{m}$ 은 최대 속도의 절반에 도달하는 순간의 기질 농도로 정의할 수 있으며 (다음 그래프 참고 — from Wikipedia) 이는 실험적으로 측정 가능한 양이다.

헥헥 날도 더운데 이딴 해설이나 블로그에 옮겨대고 뭔 삽질이람..;;
그나저나 $\LaTeX$ 을 깐 보람이 있긴 있구나 -0-

원래는 블로그에서 자유로운 수식토론(응? 누구랑?)을 하길 원했는데.
막상 셋업 해놨더니 거의 쓰질 않아서 이참에 한번 돌려봄.

얘들아.. 참고로 이 블로그에서는 코멘트에서도 수식 쓸 수 있어.
$\LaTeX$ 명령만 알고 있다면 자유롭게 수식 쓸 수 있삼.
뭐 예를 들어 코멘트에다가 [tex] $x^2 + y^2 = z^2$ $[/ {\!\!}\rm{tex}]$ 라고
쓰면 라는 결과가 튀어나옴.